Даже обычные подтягивания не рекомендованы до 9-10 лет.
Обычное естественное развитие и игры во все вами перечисленое, не является ли достаточным для того чтобы сдать нормативы. Это же не акробатические номера. Все очень естественно.
Кому не рекомендованы подтягивания? Девочкам да... Есть школьные нормативы там от 1 до 4 раз надо подтягиваться мальчикам. Приведите в борьбу или в гимнастику в 1 классе - там сразу на турник загонят. в самбо куртку через перекладину перекидывают и заставляют на ней подтягиваться.
Что такое нормативы - это оценка состояния возможностей организма к тренировочному процессу. Нормативы слабые - к нагрузкам не готов, обучение техническим приемам будет осложнено. Все просто. Тренеру результат нужен, он его может достичь с подготовленными подопечными.